Question

4．已知圓C的方程為x²+y²=4．
（1）求過點(diǎn)P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）圓C上有一動(dòng)點(diǎn)M（x₀，y₀），N（0，y₀），若Q為MN的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況考慮：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線x=1滿足題意；當(dāng)k存在時(shí)，變形出l方程，利用圓心到l的距離d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)l方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線方程為x=1，直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意；
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），求出圓心到直線l的距離d=1，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)直線方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（3）設(shè)Q（x，y），代入已知等式中化簡得到x=x，y=2y，代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程．

解答 解：（1）當(dāng)k不存在時(shí)，x=1滿足題意；
當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-2=k（x-1），
由$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2得，k=-$\frac{4}{3}$或k=0，
則所求的切線方程為y=2或4x+3y-10=0；
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，此時(shí)直線方程為x=1，l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）和（1，-$\sqrt{3}$），這兩點(diǎn)的距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意；
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
設(shè)圓心到此直線的距離為d，
∴d=$\sqrt{4-3}$=1，即$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
此時(shí)直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1；
（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵Q為MN的中點(diǎn)，M（x₀，y₀），N（0，y₀），
∴x₀=2x，y₀=y，
∵x₀²+y₀²=4，
∴4x²+y²=4，即x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查橢圓方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．