Question

如圖，四面體ABCD中，△ABD和△BCD均為等邊三角形，BD=2，O是BD的中點(diǎn)，且AO⊥平面BCD．
（1）求二面角A-BC-D的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
（2）求點(diǎn)O到平面ACD的距離．

Answer 1

解：（1）因?yàn)椤鰽BD和△BCD都是等邊三角形，O是BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD，CO⊥BD，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
則O（0，0，0），，B（1，0，0），，D（-1，0，0），…（2分）
因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以平面BCD的一個(gè)法向量為，…（3分），，
設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，
則，，所以，，
即，令z=1，得，y=1，所以，…（5分）
設(shè)與的夾角為θ，則，…（6分）
由圖形可知，二面角A-BC-D為銳角，
所以二面角A-BC-D的大小為．…（7分）
（2）設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，則，，
又，，…（8分）
所以，由，得，令，則v=1，w=1，
故，…（10分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522414.png' />，，…（12分）
所以點(diǎn)O到平面ACD的距離為．…（14分）
分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BCD，面ABC的一個(gè)法向量，利用兩個(gè)發(fā)向量夾角求解．
（2）求出平面ACD的一個(gè)法向量，點(diǎn)O到平面ACD的距離 為在方向上投影的絕對(duì)值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角、空間距離大小計(jì)算．考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．