【題目】已知函數(shù)f(x)=a1nx﹣ax+1(a∈R且a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:(n≥2,n∈N*).
【答案】(1)當(dāng)a>0時, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間(1,+∞);
當(dāng)a<0時, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間(1,+∞);
(2)證明,見解析
【解析】
(1)對f(x)求導(dǎo),分a>0,a<0兩種情況討論,分析函數(shù)單調(diào)性即可;
(2)令a=1,由(1)可證得lnx<x﹣1,即,疊乘可得證.
(1)∵f(x)=a1nx﹣ax+1,∴f′(x)a,
①當(dāng)a>0時,
若0<x<1,則f′(x)>0,若x>1,f′(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間(1,+∞);
②當(dāng)a<0時,
若0<x<1,則f′(x)<0,若x>1,f′(x)>0,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間(1,+∞);
(2)令a=1,則f(x)=lnx﹣x+1,所以f(1)=0,
由(1)可知f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,
故f(x)≤f(1),(當(dāng)x=1時取等號),
所以lnx﹣x+1<0,即lnx<x﹣1,
從而有0<lnn<n﹣1,(n≥2,n∈N*),
即(n≥2,n∈N*),
∴(n≥2,n∈N*).
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【題目】已知橢圓C: 的右焦點為,離心率.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線l過點F,且與橢圓C交于A,B兩點,試問x軸上是否存在定點M ,使得恒成立?若存在,求出點M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在盒子里有大小相同,僅顏色不同的乒乓球共10個,其中紅球4個,白球3個,藍(lán)球3個。
(Ⅰ)現(xiàn)從中任取出一球確定顏色后放回盒子里,再取下一個球,重復(fù)以上操作,最多取3次,過程中如果取出藍(lán)色球則不再取球,求:
①最多取兩次就結(jié)束的概率;
②整個過程中恰好取到2個白球的概率;
(Ⅱ)若改為從中任取出一球確定顏色后不放回盒子里,再取下一個球。重復(fù)以上操作,最多取3次,過程中如果取出藍(lán)色球則不再取球,則設(shè)取球的次數(shù)為隨機變量求的分布列和數(shù)學(xué)期望,
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=﹣1.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過拋物線C的焦點作直線l,交拋物線C于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標(biāo)為6,求|AB|.
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【題目】已知某單位由50名職工,將全體職工隨機按1-50編號,并且按編號順序平均分成10組,先要從中抽取10名職工,各組內(nèi)抽取的編號依次增加5進行系統(tǒng)抽樣.
(1)若第五組抽出的號碼為22,寫出所有被抽出職工的號碼;
(2)分別統(tǒng)計這10名職工的體重(單位:公斤),獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示,求該樣本的中位數(shù);
(3)在(2)的條件下,從體重不低于73公斤的職工中隨機抽取兩名職工,求被抽到的兩名職工的體重之和大于或等于154公斤的概率.
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【題目】從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績中,隨機抽取了名學(xué)生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分;
(2)若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中共抽取人,該人中成績在的有幾人?
(3)在(2)中抽取的人中,隨機抽取人,求分?jǐn)?shù)在和各人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線上一點到其焦點F的距離為5.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)直線l與拋物線C交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,若,求證:直線l必過一定點,并求出該定點的坐標(biāo);
(3)過點的直線m與拋物線C交于不同的兩點M、N,若,求直線m的斜率的取值范圍.
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