Question

某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示，根據(jù)要求，AB至少長(zhǎng)3米，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長(zhǎng)小0.5米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，將支架的總長(zhǎng)度表示為y的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域．（注：支架的總長(zhǎng)度為圖中線段AB、BD和CD長(zhǎng)度之和）
（2）如何設(shè)計(jì)AB，CD的長(zhǎng)，可使支架總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的關(guān)系式；
（2）設(shè)y-1=t（t≥0.5），則原式l=4t+

1.5

t

+5.5，利用基本不等式求出結(jié)果．

解答： 解：（1）由CD=x，則BD=x-0.5，設(shè)BC=y，
則支架的總長(zhǎng)度為AC+BC+BD+CD，
在△BCD中，由余弦定理x²+y²-2xycos60°=（x-0.5）²，
化簡(jiǎn)得 y²-xy+x-0.25=0，即x=

y2-0.25

y-1

     ①…（4分）
記l=y+y+x-0.5+x=2y+2x-0.5=

4y2-2y-0.5

y-1

-0.5（-0.5＜x＜0.5或x＞1）---------（6分）
（2）由題中條件得2y≥3，即y≥1.5，設(shè)y-1=t（t≥0.5）
則原式l=4t+

1.5

t

+5.5                …（10分）
∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+

1.5

t

≥2

6

有且僅當(dāng)4t=

1.5

t

，即t=

6

4

時(shí)成立，
∴y=

6

4

+1，∴x=

3 6 +8

4

，
∴當(dāng)AB=

6

2

+2，CD=

8+3 6

4

時(shí)，金屬支架總長(zhǎng)度最短． …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題借助三角形的余弦定理建立函數(shù)解析式，考查函數(shù)的最值問題，是中檔題．