Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=2S₂+4，．
（1）求公差d的值；
（2）若，求數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；
（3）若對(duì)任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴，解得d=1，
（2）∵，∴數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式為 ，∴，
∵函數(shù)在和上分別是單調(diào)減函數(shù)，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，當(dāng)n≥4時(shí)，1＜b_n≤b₄，∴數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)是b₄=3，最小項(xiàng)是b₃=-1．
（3）由 得 ，
又函數(shù)在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分別是單調(diào)減函數(shù)，
且x＜1-a₁ 時(shí)，y＜1；x＞1-a₁時(shí)，y＞1．
∵對(duì)任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范圍是（-7，-6）．
分析：（1）根據(jù) S₄=2S₂+4，可得 ，解得d的值．
（2）由條件先求得a_n的解析式，即可得到b_n的解析式，由函數(shù)在和上分別是單調(diào)減函數(shù)，可得b₃＜b₂＜b₁＜1，當(dāng)n≥4時(shí)，1＜b_n≤b₄，故數(shù)列{b_n}中的
最大項(xiàng)是b₄=3，最小項(xiàng)是b₃=-1．
（3）由 ，函數(shù)在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分別是單調(diào)減函數(shù)，x＜1-a₁ 時(shí)，y＜1； x＞1-a₁時(shí)，y＞1，再根據(jù)b_n≤b₈，可得 7＜1-a₁＜8，從而得到a₁的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特性，以及數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，得到
7＜1-a₁＜8，是解題的難點(diǎn)．