(14分)設(shè)F1、F2分別為橢圓C: =1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;

(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.

 

【答案】

(1)=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0);(2);

(3) 若M、N是雙曲線:=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.證明見解析。

【解析】本題考查橢圓的基本知識(shí),求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法.

解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.又點(diǎn)A(1,)在橢圓上,因此=1得b2=3,于是c2=1.

所以橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).

(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足:

, 即x1=2x+1,y1=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.

(3)類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線:=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n),其中=1.

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由

得kPM·kPN=,將m2-b2代入得kPM·kPN=.

思路拓展:(1)求橢圓的方程,主要運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì);

(2)求軌跡方程,運(yùn)用的求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法之一—相關(guān)點(diǎn)法.

(3)問對考生的邏輯思維能力、分析和解決問題的能力及運(yùn)算能力都有較高的要求,根據(jù)提供的信息,讓考生通過類比自己找到所證問題,這是高考數(shù)學(xué)命題的方向,應(yīng)引起注意。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)A(1,
3
2
)
到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)Q(0.
1
2
)
求|PQ|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)數(shù)學(xué)公式到兩點(diǎn)的距離之和等于4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)數(shù)學(xué)公式求|PQ|的最大值.

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