【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為6的正方形，已知，且并與對(duì)角線交于，現(xiàn)以為折痕將正方形折起，且重合，記重合后為，記重合后為.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，則，再取中點(diǎn)，連接，易得，得出四邊形為平行四邊形，得，，證明平面，即可證出平面平面.

（2）以與垂直的直線為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出平面和平面的法向量，再利用空間向量二面角公式求出結(jié)果.

（1）取中點(diǎn)，連接，則.再取中點(diǎn)，連接，易得，于是，四邊形為平行四邊形，得，從而，

那么平面，又平面，故平面平面.

（2）以與垂直的直線為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，則，，

設(shè)平面的法向量，由得：

，取，得，

所以平面的法向量.

同理可得：平面的法向量，

則，

所以平面與平面所成二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，且，是線段的中點(diǎn)，過作直線，是直線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直，求此時(shí)二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢(mèng)，把我國(guó)建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)，黨和國(guó)家為勞動(dòng)者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動(dòng)的舞臺(tái).借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時(shí)，為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場(chǎng)選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時(shí)種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：

（1）如果你是該農(nóng)場(chǎng)的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對(duì)于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；

（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場(chǎng)共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場(chǎng)種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場(chǎng)的收購(gòu)均價(jià)為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計(jì)總體，請(qǐng)計(jì)算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤(rùn)；

（3）農(nóng)場(chǎng)根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：x2＝2y，過點(diǎn)(0，2)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).

（1）證明：OA⊥OB；

（2）若直線l的斜率為1，過點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線l1，l2，若直線l1，l2，相交于點(diǎn)P，直線l1，l2交x軸分別于點(diǎn)M，N，求△MNP的外接圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班圖書角有文學(xué)名著類圖書5本，學(xué)科輔導(dǎo)書類圖書3本，其它類圖書2本，共10本不同的圖書，該班從圖書角的10本不同圖書中隨機(jī)挑選3本不同圖書參加學(xué)�；顒�(dòng).

（1）求選出的三本圖書來自于兩個(gè)不同類別的概率；

（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的3本圖書中，文學(xué)名著類本數(shù)與學(xué)科輔導(dǎo)類本數(shù)差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)（單位：），得到下面的頻數(shù)表：

亮燈時(shí)長(zhǎng)/

頻數(shù)

10

20

40

20

10

以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).

（1）試估計(jì)的值；

（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.

①求的數(shù)學(xué)期望和方差；

②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí)，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì)，在一場(chǎng)燈光展中，處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)（結(jié)果保留為整數(shù)）.

附：

①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商；

②若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年10月1日我國(guó)隆重紀(jì)念了建國(guó)70周年，期間進(jìn)行了一系列大型慶�；顒�(dòng)，極大地激發(fā)了全國(guó)人民的愛國(guó)熱情.某校高三學(xué)生也投入到了這場(chǎng)愛國(guó)活動(dòng)中，他(她)們利用周日休息時(shí)間到社區(qū)做義務(wù)宣講員，學(xué)校為了調(diào)查高三男生和女生周日的活動(dòng)時(shí)間情況，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各40人，對(duì)他(她)們的周日活動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分別得到了高三男生的活動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))的頻數(shù)分布表和女生的活動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))的頻率分布直方圖.（活動(dòng)時(shí)間均在內(nèi)）

活動(dòng)時(shí)間

頻數(shù)

8

10

7

9

4

2

（1）根據(jù)調(diào)查，試判斷該校高三年級(jí)學(xué)生周日活動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)的是男生還是女生？并說明理由；

（2）在被抽取的80名高三學(xué)生中，從周日活動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)的圖象把圓的面積兩等分

②是周期為的函數(shù)

③函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)

④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.①③④B.②④C.①④D.①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)（的值精確到0.01）；

（2）為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素，學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時(shí)間為，的學(xué)生中抽取9名參加座談會(huì)．

（i）你認(rèn)為9個(gè)名額應(yīng)該怎么分配？并說明理由；

（ii）座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多．請(qǐng)根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù)，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時(shí)間不足（每周閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí)）與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)？

閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí)

閱讀時(shí)間超過8.5小時(shí)

理工類專業(yè)

40

60

非理工類專業(yè)

附：（）.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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