Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)，恒不小于，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 極小值為，沒(méi)有極大值 (2)

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的極小值，并判斷沒(méi)有極大值；（2）根據(jù)條件可得出，對(duì)任意的x∈R，都有成立，然后令，求導(dǎo)，討論m的取值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)的最小值，從而得出m+n≤2m-mlnm，同樣根據(jù)導(dǎo)數(shù)便可求出2m-mlnm的最大值，這樣即可求出m+n的最大值

試題解析：（1）依題意，

令得

令得

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

故函數(shù)的極小值為，沒(méi)有極大值。

（2）依題意對(duì),即，即恒成立

令，則

①若，則，在上單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值，不符題意，舍去。

②若，令得

當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增。

故

故

令，則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

故，即，即的最大值是。