Question

12．近年來，某地霧霾污染指數(shù)達(dá)到重度污染級(jí)別．經(jīng)環(huán)保部門調(diào)查，該地工廠廢氣排放污染是形成霧霾的主要原因．某科研單位進(jìn)行了科技攻關(guān)，將工業(yè)廢氣中的某些成分轉(zhuǎn)化為一中可利用的化工產(chǎn)品．已知該項(xiàng)目每年投入資金3000萬元，設(shè)每年處理工廠廢氣量為x萬升，每萬升工廠廢氣處理后得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為c（x）萬元，其中c（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\frac{20}{x}+192，0＜x≤50}\\{-\frac{7200}{{x}^{2}}+\frac{3640}{x}-2，x＞50}\end{array}\right.$．設(shè)該單位的年利潤為f（x）（萬元）．
（I）求年利潤f（x）（萬元）關(guān)于處理量x（萬升）的函數(shù)表達(dá)式；
（II）該單位年處理工廠廢氣量為多少萬升時(shí)，所獲得的利潤最大，并求出最大利潤？

Answer 1

分析 （I）利用f（x）=xc（x）-3000，即可得出結(jié)論；
（II）分段討論，0＜x≤50時(shí)，f（x）=xc（x）-3000=-3x²+192x-2980，x=32時(shí)，f（x）_max=f（32）=92；x＞50時(shí)，f（x）=xc（x）-3000=-$\frac{7200}{x}$-2x+640=640-（2x+$\frac{7200}{x}$），利用基本不等式，可得結(jié)論．

解答 解：（I）0＜x≤50時(shí)，f（x）=xc（x）-3000=-3x²+192x-2980，
x＞50時(shí)，f（x）=xc（x）-3000=-$\frac{7200}{x}$-2x+640，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}^{2}+192x-2980，0＜x≤50}\\{-\frac{7200}{x}-2x+640，x＞50}\end{array}\right.$；
（II）0＜x≤50時(shí)，f（x）=xc（x）-3000=-3x²+192x-2980，x=32時(shí)，f（x）_max=f（32）=92；
x＞50時(shí)，f（x）=xc（x）-3000=-$\frac{7200}{x}$-2x+640=640-（2x+$\frac{7200}{x}$）≤400，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{7200}{x}$，即x=60時(shí)，f（x）_max=f（60）=400，
∵400＞92，
∴該單位年處理工廠廢氣量為60萬升時(shí)，所獲得的利潤最大，最大利潤為400萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用題目，并且考查了求二次函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)的最值等問題，是中檔題．