Question

已知函數(shù)f（x）=1-

1

x

（x≠0）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=1-

1

x

（x≠0），可得 f（-1）≠f（1），且 f（-1）≠-f（-1），故不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，
（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，化簡可得 f（x₁）-f（x₂）＜0，從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=1-

1

x

（x≠0）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，理由如下：
f（x）=1-

1

x

（x≠0）的定義域關(guān)于原點對稱，注意到f（-1）=2，f（1）=1-1=0，
∴f（-1）≠f（1），且 f（-1）≠-f（-1），
∴函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

，
由題設(shè)可得，x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即  f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．