Question

（文科試題）已知拋物線y²=2px，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，P是拋物線上的點(diǎn)，使得△POF是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P共有

2

個(gè)．

Answer 1

分析：顯然直角三角形△POF的直角頂點(diǎn)不可能是坐標(biāo)原點(diǎn)O．當(dāng)直角頂點(diǎn)在焦點(diǎn)F時(shí)，易得滿足條件的P點(diǎn)有兩個(gè)；接下來用數(shù)量積可證明

OP

•

FP

＞0，可得∠OPF是銳角，最后綜上所述，得滿足條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)．

解答：解：分3種情況加以討論
①根據(jù)題意，顯然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角頂點(diǎn)不可能是原點(diǎn)O，
②當(dāng)∠PFO=90°時(shí)，即直角頂點(diǎn)在焦點(diǎn)F時(shí)，過點(diǎn)F作直線與x軸垂直，交于拋物線y²=2px于P點(diǎn)，這樣滿足條件的P點(diǎn)有兩個(gè)；
③接下來證明∠OPF不可能是直角：
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（

p

2

，0），設(shè)拋物線上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

y2

2p

，y），可得

OP

=（

y2

2p

，y），

FP

=（

y2

2p

-

p

2

，y）
∴

OP

•

FP

=

y2

2p

（

y2

2p

-

p

2

）+y²=

y4

4p2

+

3y2

4

∵

y4

4p2

＞0且

3y2

4

＞0
∴

OP

•

FP

=

|OP|

•

|FP|

cos∠OPF＞0，
∴cos∠OPF＞0，結(jié)合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是銳角．
綜上所述，得滿足條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)在拋物線上，求滿足條件三角形的個(gè)數(shù)，著重考查了拋物線的基本性質(zhì)和向量和數(shù)量積等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．