Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A1A=AC=

2

AB，AB=BC=a，D為BB₁的中點．
（1）證明：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求平面ADC₁與平面ABC所成的二面角大�。�

Answer 1

分析：（1）以B為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，分析求出向量

DE

，

AC1

，

CC1

的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

DE

•

AC1

=0，

DE

•

CC1

=0，結(jié)合線面垂直的判定定理得到DE⊥面A₁ACC₁，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．
（2）求出平面ADC₁與平面ABC的法向量坐標(biāo)，代入向量夾角公式，求出平面ADC₁與平面ABC所成的二面角的余弦值，進(jìn)而可以求出平面ADC₁與平面ABC所成的二面角．

解答：解：由勾股定理知，AB⊥BC，則如圖所示建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)分別為：
B（0，0，0），A（0，a，0），C（a，0，0），B₁（0，0，

2

a)，A1(0，a，

2

a）C₁（a，0，

2

a）
（1）∵D₁，E分別是BB₁，AC₁之中點．
∴D（0，0，

2

2

a)，E(

a

2

，

a

2

，

2

2

故

DE

=(

a

2

，

a

2

，0)，

CC1

=(0，0，

2

a)，

AC1

=(a，-a，

2

a）
∵

DE

•

AC1

=0，

DE

•

CC1

=0，
∴DE⊥面A₁ACC₁，∴平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．…（6分）
（2）顯然平面ABC的法向量為

m

=（0，0，1），
設(shè)平面ADC₁的法向量

n

=(x1，y1，z1），且

AD

=(0，-a，

2

2

a)，

AC1

=(a，-a，

2

a）
令

AD • n =0 AC1 • n =0

⇒

n

=(-

2

2

，

2

2

，1），…（8分）
∴cos＜

m，

n

＞=

1

1 2 + 1 2 +1 •1

=

1

2

=

2

2

，
故兩平面的夾角為

π

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系判定及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．