Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（3，0）過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交P，Q兩點(diǎn)線段PQ的中點(diǎn)為M（2，1）．求：
（1）直線l的方程；
（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）線段PQ的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線l過(guò)F（3，0）點(diǎn)，可設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3），又由直線l也經(jīng)過(guò)M（2，1），代和求出k值，可得直線方程；
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

n+9

+

y2

n

=1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法及線段PQ中點(diǎn)M（2，1），可得n=9，即可得到橢圓的方程；
（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，求出PQ兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)之間距離公式，可得線段PQ的長(zhǎng)度．

解答： 解：（1）∵直線l過(guò)F（3，0）點(diǎn)，
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3），
又∵直線l也經(jīng)過(guò)M（2，1）．
解得：k=-1，
∴直線l的方程為：y=-（x-3），即x+y-3=0，
（2）∵橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

n+9

+

y2

n

=1，
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

x12

n+9

+

y22

n

=1，…①

x22

n+9

+

y22

n

=1，…②
①-②得：

(x1+x2)(x1-x2)

n+9

+

(y1+y2)(y1-y2)

n

=0
∵P，Q兩點(diǎn)線段PQ的中點(diǎn)為M（2，1）．
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

4n

2(n+9)

=-1，
解得：n=9，n+9=18，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

18

+

y2

9

=1，
（3）由

x2 18 + y2 9 =1 x+y-3=0

得：x²-4x=0，
解得：x=0，或x=4，
故P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），（4，-1），
故線段PQ的長(zhǎng)度為

42+(-1-3)2

=4

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的方程，考查兩點(diǎn)之間距離公式，是直線與橢圓的綜合應(yīng)用，難度中檔．