Question

為迎接2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)，在著名的海濱城市青島舉行了一場(chǎng)奧運(yùn)選拔賽，其中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員為爭(zhēng)取最后一個(gè)參賽名額進(jìn)行的7輪比賽的得分如莖葉圖所示．
（1）若從甲運(yùn)動(dòng)員的每輪比賽的得分中任選3個(gè)不低于80且不高于90的得分，求甲的三個(gè)得分與其每輪比賽的平均得分的差的絕對(duì)值都不超過2的概率；
（2）若分別從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每輪比賽不低于80且不高于90的得分中任選1個(gè)，求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分之差的絕對(duì)值ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（1）由莖葉圖可得甲運(yùn)動(dòng)員七輪比賽的得分情況，計(jì)算平均得分，從而可求甲的三個(gè)得分與其每輪比賽的平均得分的差的絕對(duì)值都不超過2的概率；
（2）確定ξ的可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，從而可得ξ的分布列與期望．

解答：解：（1）由莖葉圖可知，甲運(yùn)動(dòng)員七輪比賽的得分情況為：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每輪比賽的平均得分為

.

x1

=

78+81+84+85+84+85+91

7

=84，
顯然甲運(yùn)動(dòng)員每輪比賽得分中不低于80且不高于90的得分共有5個(gè)，分別為81，84，85，84，85，其中81分與平均得分的絕對(duì)值大于2，所求概率P=

C 3 4

C 3 5

=

2

5

．
（2）設(shè)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分分別為x，y，則得分之差的絕對(duì)值為ξ=|x-y|．
顯然，由莖葉圖可知，ξ的可能取值為0，1，2，3，5，6．
當(dāng)ξ=0時(shí)，x=y=84，故P（ξ=0）=

C 1 2 C 1 3

C 1 5 C 1 5

=

6

25

當(dāng)ξ=1時(shí)，x=85，y=84或y=86，故P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 1 5 C 1 5

=

8

25

當(dāng)ξ=2時(shí)，x=84，y=86或x-85，y=87，故P（ξ=2）=

2C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

4

25

當(dāng)ξ=3時(shí)，x=81，y=84或x=84，y=87，故P（ξ=3）=

C 1 3 +C 1 2

C 1 5 C 1 5

=

1

5

當(dāng)ξ=5時(shí)，x=81，y=86，故P（ξ=5）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

當(dāng)ξ=6時(shí)，x=81，y=87，故P（ξ=6）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5	6
P	6 25	8 25	4 25	1 5	1 25	1 25

Eξ=0×

6

25

+1×

8

25

+2×

4

25

+3×

1

5

+5×

1

25

+6×

1

25

=

42

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定的取值，計(jì)算概率是關(guān)鍵．