Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=,a_n+1= (n∈N^*).

(1)用數(shù)學歸納法證明：a_n＞2(n∈N^*);

(2)對于n∈N^*,證明：

①a_n+1-2＜(a_n-2)；

②a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2n+1.

Answer 1

證明：(1)①當n=1時，a₁=＞2，結(jié)論成立.

②假設n=k(k≥1)不等式a_k＞2成立，

當n=k+1時,a_k+1=，

∴a_k+1-2=-2=.

由a_k＞2得a_k+1-2＞0，即a_k+1＞2.

說明當n=k+1時，不等式也成立.

根據(jù)①和②,可知不等式a_n＞2對于n∈N^*都成立.

（2）①由（1）可知a_n＞2(n∈N^*)，

∴a_n+1-2＞0,a_n-2＞0,

則a_n+1-.

∵0＜a_n-2＜a_n-1,則0＜＜1,

∴＜,即a_n+1-2＜(a_n-2).

②由①可知，當n≥2時，

a_n-2＜(a_n-1-2)＜(a_n-2-2)＜(a_n-3-2)＜…＜·(a₁-2)=,

則a_n＜2+.

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＜(2+)+(2+)+(2+)+…+(2+)=2n+(+++…+)=2n+.

當n=1時，a₁=＜2×1+1，不等式也成立，故對于任意n∈N^*，都有a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2n+1.