Question

14．已知|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OC}$=sin²θ•$\overrightarrow{OA}$+cos²θ•$\overrightarrow{OB}$，當(dāng)|$\overrightarrow{OC}$|取最小值時，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{16}{25}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{9}{25}$$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{OC}$=sin²θ•$\overrightarrow{OA}$+cos²θ•$\overrightarrow{OB}$兩邊平方，代入數(shù)量積，化余弦為正弦，再利用配方法求得當(dāng)|$\overrightarrow{OC}$|取最小值時sin²θ與cos²θ的值得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OC}$=sin²θ•$\overrightarrow{OA}$+cos²θ•$\overrightarrow{OB}$，
∴$|\overrightarrow{OC}{|}^{2}=|si{n}^{2}θ•\overrightarrow{OA}+co{s}^{2}θ•\overrightarrow{OB}{|}^{2}$=$si{n}^{4}θ|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+co{s}^{4}θ|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$$+2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=9sin⁴θ+16cos⁴θ=9sin⁴θ+16（1-sin²θ）²=25sin⁴θ-32sin²θ+16
=$25（si{n}^{2}θ-\frac{16}{25}）^{2}+\frac{144}{25}$．
∴當(dāng)$si{n}^{2}θ=\frac{16}{25}$，$co{s}^{2}θ=\frac{9}{25}$時，|$\overrightarrow{OC}$|取最小值．
此時$\overrightarrow{OC}=\frac{16}{25}\overrightarrow{OA}+\frac{9}{25}\overrightarrow{OB}$．
故答案為：$\frac{16}{25}$，$\frac{9}{25}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量模的求法，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．