Question

（2013•鎮(zhèn)江一模）斜率為1的直線與拋物線y²=2x交于不同兩點(diǎn)A、B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．
．

Answer 1

分析：設(shè)斜率為1的直線方程為y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由直線與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程（m為參數(shù)），利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到x₁+x₂與x₁x₂關(guān)于m的表示式．設(shè)M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出x=1-m且y=x+m=1，最后根據(jù)一元二次方程根的判別式算出m＜

1

2

，進(jìn)而得到x＞

1

2

，可得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），斜率為1的直線方程為y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=x+m y2=2x

消去y，得x²+（2m-2）x+m²=0，…（2分）
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=2-2m x 1x2=m2

…（6分）
∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，
∴x=

x1+x2

2

=1-m，y=x+m=1，…（8分）
∵直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴△=（2m-2）²-4m²＞0，解之得m＜

1

2

，
結(jié)合x=1-m可得M橫坐標(biāo)的范圍是（

1

2

，+∞），…（9分）
因此，線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為：y=1(x∈(

1

2

，+∞))．…（10分）

點(diǎn)評：本題給出斜率為1的直線與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程，著重考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．