Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，記F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=e處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞0時，若函數(shù)F（x）沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求曲線y=f（x）在x=e處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)F（x）沒有零點，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程無解，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（ I）f′（x）=

1

x

，則函數(shù)f（x）在x=e處的切線的斜率為k=

1

e

．
又f（e）=1，
所以函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程為y-1=

1

e

(x-e)，即y=

1

e

x．

（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-1，F(xiàn)′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．
①當a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a＞0時，令F′（x）＜0，解得x＞

1

a

；
令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

．
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)F（x）的增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)F（x）的增區(qū)間是(0，

1

a

)，減區(qū)間是(

1

a

，+∞)．

（Ⅲ）依題意，函數(shù)F（x）沒有零點，
即F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-1=0無解．
由（Ⅱ）知，當a＞0時，函數(shù)F（x）在區(qū)間(0，

1

a

)上為增函數(shù)，區(qū)間(

1

a

，+∞)上為減函數(shù)，
由于F（1）=-a-1＜0，只需F（

1

a

）=ln

1

a

-a•

1

a

-1=-lna-2＜0，
解得a＞e^-2．
所以實數(shù)a的取值范圍為（

1

e2

，+∞）．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力．