Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，分別求出平面ABC₁D₁和平面A₁B₁CD的一個法向量，并證明這兩個平面互相垂直．

Answer 1

考點：平面的法向量,向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得平面的法向量，再利用線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理即可證明．

解答： 解：設(shè)D為原點，分別以DA，DC，DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），
A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．
則

AB

=（0，1，0），

BC1

=（-1，0，1）．
設(shè)平面ABC₁D₁的一個法向量為

n1

=（x，y，z），則

n1

•

AB

=y=0，

n1

•

BC1

=-x+z=0，不妨令x=1，則z=1．
故

n1

=（1，0，1）．
設(shè)平面A₁B₁CD的一個法向量為

n2

，同理，可求

n2

=（-1，0，1），
∵

n1

•

n2

=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，
∴

n1

⊥

n2

．
∴平面ABC₁D₁⊥平面A₁B₁CD．

點評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得平面的法向量、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．