Question

9．已知函數f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期為π，函數f（x）的最大值是$\frac{7}{4}$，最小值是$\frac{3}{4}$，求函數的解析式f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數的周期性求得ω的值，再根據正弦函數的最值求得a、b的值，可得函數的解析式．

解答 解：∵函數f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
再根據函數f（x）的最大值是$\frac{7}{4}$，最小值是$\frac{3}{4}$，
可得a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{7}{4}$，-a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{3}{4}$，求得a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
故答案為：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性，正弦函數的最值，屬于基礎題．