Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），無極大值；（2）；（3）.

【解析】

（1）求得，即可判斷為函數(shù)的極小值點，問題得解。

（2）“在上為單調(diào)函數(shù)”可轉(zhuǎn)化為：恒大于等于0或者恒小于等于0，即可轉(zhuǎn)化為：或在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為在恒成立或在恒成立，求得，問題得解。

（3）構(gòu)造函數(shù)，對的取值分類，當(dāng)時，可判斷恒成立，即不滿足題意，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)可判斷在單調(diào)遞增，結(jié)合，由題意可得：，問題得解

（1）因為.由得:，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以為函數(shù)的極小值點 .

（2），.

因為在上為單調(diào)函數(shù)，

所以或在上恒成立，

等價于在恒成立，

又．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

等價于，

即在恒成立，而．

綜上，m的取值范圍是．

（3）構(gòu)造函數(shù)，

當(dāng)時，，

所以在不存在，使得

當(dāng)時，

因為，所以在恒成立，

故在單調(diào)遞增，

所以，又

所以只需，解之得，

故m的取值范圍是 .