Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）如果f（x）≤a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=3-x+（4-x）=7-2x
不等式f（x）≥2即7-2x≥2，解之得x≤；
當(dāng)3≤x≤4時(shí)，f（x）=x-3+（4-x）=1，不等式f（x）≥2的解集為空集；
當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=x-3+（x-4）=2x-7，
不等式f（x）≥2即2x-7≥2，解之得x≥
綜上所述，原不等式的解集為；
（2）f（x）≤a的解集不是空集，即f（x）的最小值小于或等于a，
由（1）可得f（x）=
由此可得f（x）在（-∞，3）上是減函數(shù)，在[3.4]上是常數(shù)1，
在區(qū)間（4，∞）上是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的最小值為1，
由此可得a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）
分析：（1）分x＜3時(shí)、3≤x≤4時(shí)和x＞4時(shí)3種情況加以討論，分別得到f（x）的表達(dá)式，再解不等式f（x）≥2，最后綜合可得所求的解集；
（2）由（1）的討論，得f（x）的最小值為1，而f（x）≤a解集不空，得f（x）的最小值小于或等于a，由此不難得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)，解關(guān)于x的不等式并討論不等式解集非空時(shí)參數(shù)a的取值范圍，著重考查了絕對(duì)值的含義、不等式的解法和函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．