Question

下列命題：
（1）若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，則必有a≥1；
（2）函數(shù)y=sinxcosx+cos²x最小正周期是2π
（3）函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；
（4）若f（x+a）=f（a-x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱．
其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是

（1）（2）（3）．

（把你認(rèn)為錯(cuò)誤的命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)判斷．（2）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．
（3）利用函數(shù)圖象的平移關(guān)系判斷函數(shù)的對(duì)稱性．（4）利用函數(shù)對(duì)稱性的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可知不等式|x-4|+|x-3|≥1，所以要使|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，則必有a＞1，所以（1）錯(cuò)誤．
（2）函數(shù)y=sinxcosx+cos²x=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，所以周期T=

2π

2

=π，所以（2）錯(cuò)誤．
（3）因?yàn)閥=f（a-x）=f（a+（-x）），所以設(shè)y=F（x）=f（a+x），F(xiàn)（-x）=f（a+（-x）），所以F（x）是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以（3）錯(cuò)誤．
（4）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性的公式可知若f（x+a）=f（a-x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以（4）正確．
故答案為：（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，綜合性較強(qiáng)，要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．