已知數(shù)列{an}滿足:(其中常數(shù)λ>0,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)λ=4時(shí),是否存在互不相同的正整數(shù)r,s,t,使得ar,as,at成等比數(shù)列?若存在,給出r,s,t滿足的條件;若不存在,說明理由;
(3)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
(1)an=(2n+1)·λn-1  (n∈N*).(2)不存在這樣的正整數(shù)r,s,t,使得ar,as,at成等比數(shù)列.(3)當(dāng)0<λ<1時(shí),結(jié)論成立. 
本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和、和不等式的成立的證明綜合運(yùn)用。
(1)根據(jù)已知條件可知利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系得到通項(xiàng)公式。
(2)因?yàn)楫?dāng)λ=4時(shí),an=(2n+1)·4n-1
若存在ar,as,at成等比數(shù)列,則[(2r+1)·4r-1] [(2t+1)·4t-1]=(2s+1)2 ·42s-2
整理得(2r+1) (2t+1) 4 r+t -2s=(2s+1)2,可以判定為等比數(shù)列。
(3)因?yàn)镾n=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1.,需要對(duì)于參數(shù)λ分情況討論得到和式的求解,以及不等式的證明。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(Ⅰ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在數(shù)列中,,,則
A.2009B.2010C.2011D.2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知數(shù)列,滿足:,當(dāng)時(shí),;對(duì)于任意的正整數(shù),
.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)計(jì)算、,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求滿足的正整數(shù)的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在數(shù)列中,,,則數(shù)列的通項(xiàng)   

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=4,a3=3,則該數(shù)列中第一次出現(xiàn)負(fù)值的項(xiàng)為( ).
A.第9項(xiàng) B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng) D.第12項(xiàng)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

.在等差數(shù)列中,,其前n項(xiàng),則n=
A.7B.8 C.15D.17

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

等差數(shù)列中,已知,,則的值是(   )
A.30B.27 C.24D.21

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,第k項(xiàng)滿足,則k=_______

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