Question

10．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，P，Q分別是線段C₁D與AC上的動點，則異面直線CD與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，線段PQ的長度的最小值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC這y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CD與AC所成角的余弦值和線段PQ的長度的最小值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC這y軸，DD₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
設異面直線CD與AC所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴異面直線CD與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設點P的坐標為（0，λ，2λ），λ∈[0，1]，
點Q的坐標為（1-μ，μ，0），μ∈[0，1]，
∴PQ=$\sqrt{（1-μ）^{2}+（λ-μ）^{2}+4{λ}^{2}}$
=$\sqrt{2{μ}^{2}+5{λ}^{2}-2λμ-2μ+1}$
=$\sqrt{5（λ-\frac{1}{5}μ）^{2}+\frac{9}{5}（μ-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{4}{9}}$，
當且僅當λ=$\frac{1}{9}$，μ=$\frac{5}{9}$時，線段PQ的長度取得最小值$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查線段長的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．