Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），下頂點為A（0，-b），直線AF與橢圓的右準(zhǔn)線交于點B，與橢圓的另一個交點為點C，若F恰好為線段AB的中點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若FC=

2

3

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得2c=

a2

c

，從而可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）可知直線AB的方程為y=x-c，設(shè)C（x₀，x₀-c），將其代入橢圓方程，可求得x₀，利用兩點間的距離公式表示出FC=

2

3

，可求得c，從而可求得橢圓的方程．

解答：解（1）因為B在右準(zhǔn)線上，且F恰好為線段AB的中點，所以2c=

a2

c

，…（2分）
即

c2

a2

=

1

2

，所以橢圓的離心率e=

2

2

…（4分）
（2）由（1）知a=

2

c，b=c，所以直線AB的方程為y=x-c，
設(shè)C（x₀，x₀-c），因為點C在橢圓上，所以

x02

2c2

+

(x0-c)2

c2

=1，…（6分）
即x02+2（x₀-c）²=2c²，
解得x₀=0（舍去），x₀=

4

3

c．
所以C為（

4

3

c，

1

3

c），…（8分）
因為FC=

2

3

，由兩點距離公式可得（

4

3

c-c）²+（

1

3

c）²=

4

9

，
解得c²=2，所以a=2，b=

2

，
所以此橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．    …（10分）

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)（求離心率），考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查方程思想與化歸思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．