Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（n≥2）．
（1）當(dāng)λ為何值時，數(shù)列{a_n}可以構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）若λ=3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

解：（1）a₂=λa₁+λ-2=2λ-2，a₃=λa₂+λ-2=2λ²-2λ+λ-2=2λ²-λ-2，
∵a₁+a₃=2a₂，∴1+2λ²-λ-2=2（2λ-2），得2λ²-5λ+3=0，解得λ=1或λ=．
當(dāng)λ=時，a₂=2×-2=1，a₁=a₂，故λ=不合題意舍去；
當(dāng)λ=1時，代入a_n=λa_n-1+λ-2可得a_n-a_n-1=-1，
∴數(shù)列{a_n}構(gòu)成首項(xiàng)為a₁=1，d=-1的等差數(shù)列，
∴a_n=2-n．
（2）當(dāng)λ=3時，a_n=3a_n-1+1，即a_n+=3（a_n-1+），
令b_n=a_n+即b_n=3b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}構(gòu)成首項(xiàng)為b₁=，公比為3的等比數(shù)列，
∴b_n=×3^n-1=，
∴a_n=-
分析：（1）根據(jù)a_n=λa_n-1+λ-2，可得a₂，a₃的值，利用數(shù)列{a_n}可以構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，可求λ的值，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)λ=3時，a_n=3a_n-1+1，即a_n+=3（a_n-1+），構(gòu)造新數(shù)列b_n=a_n+，可得數(shù)列{b_n}構(gòu)成首項(xiàng)為b₁=，公比為3的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的定義，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是對遞推式進(jìn)行變形，構(gòu)造等比數(shù)列模型．