Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，點(diǎn)P在其上一點(diǎn)，雙曲線的離心率是2，且∠F₁PF₂=90°，若△F₁PF₂的面積為3，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義、勾股定理、△F₁PF₂的面積為3，可得c²-a²=3，結(jié)合雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，求出a，即可得到雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則|m-n|=2a①
由∠F₁PF₂=90°，可得m²+n²=4c²，②
則①²-②得：-2mn=4a²-4c²，
即有mn=2c²-2a²，
由△F₁PF₂的面積為3，
可得$\frac{1}{2}$mn=c²-a²=3，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
解得c=2，a=1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義、方程和基本性質(zhì)．在涉及到與焦點(diǎn)有關(guān)的題目時(shí)，一般都用定義求解，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．