Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得，，因為，所以的解集為，即單調(diào)遞增區(qū)間；的解集為，即單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)，令，得，顯然是一個零點，記，求導(dǎo)得，易知時遞減；時遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數(shù)的零點個數(shù)1個.

試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．

令，得．當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．

（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個零點. 理由如下：

由，得方程， 顯然為此方程的一個實數(shù)解.

所以是函數(shù)的一個零點. 當時，方程可化簡為.設(shè)函數(shù)，則，令，得．

當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．所以的最小值.

因為 ， 所以，所以對于任意，，因此方程無實數(shù)解．所以當時，函數(shù)不存在零點.綜上，函數(shù)有且僅有一個零點. 考點：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、函數(shù)的極值和最值；3、函數(shù)的零點.