Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，.

（1）證明：；

（2）若是正三角形，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）要證線線垂直，可以從線面垂直入手，證得AC⊥平面A1B1C，進(jìn)而得到AC⊥；（2）利用空間坐標(biāo)系的方法，求得兩個(gè)面的法向量，通過(guò)向量的夾角的計(jì)算得到二面角的大小.

解析:

（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)B1作A1C的垂線，垂足為O，

由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，

得B1O⊥平面AA1C1C，

又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．

由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．

又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．

又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．

（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸正方向，||為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．

由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．

所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，0)，＝＝(0，－1，)．

設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，則

即

可取n＝(2，，1)．

設(shè)m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，則

即

可取m＝(0，，1)．

則cosn，m＝＝．

又因?yàn)槎�面�?/span>A1-AB-C為銳二面角，

所以二面角A1-AB-C的大小為．