Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c滿足：f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設，若不等式對n∈N⁺恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=1，；b₁=1，，記，問是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求函數f（x）的解析式，只需找到關于a，b，c的三個方程，解方程組即可．由題意可由f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數得．
（2）先用等差數列前n項和公式求S_n，得，S_n=，這時不等式可化為，在用作差法解不等式即可．
（3）分別用構造法和累加法求數列{a_n}，{b_n}的通項公式，再代入，然后假設存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，分k為奇數和偶數時求k的值．
解答：解：（1）由題意的，f（1）=a+b-c=3，f（-x）=f（x）對任意x∈R都成立，得f（x）=3x．
（2）=3（+…+）=（1+n），
∵化為，即對任意n∈N⁺恒成立，顯然m≤0不成立．
當m＞0時，mⁿ＞0，
∴對任意n∈N⁺恒成立，
∴m＞對任意n∈N⁺恒成立．而的最大值為，
∴m＞．
（3）由a₁=1，，可得，
∴數列{}是首項為1，公差為2的等差數列，∴=2n-1．
由b₁=1，，用累加法可得b_n=（n-1）²+1，
∴=，
 當k為奇數時，g（k+1）=2g（k），（k+1-1）²+1=2（2k+1）得，k=1或k=3．
當k為偶數時，2k²-6k+3=0無偶數解．
綜上，存在k=1或k=3滿足條件．
點評：本題是數列，函數，不等式的綜合應用，考查面廣，須認真審題，找到個知識點的突破口．