分析 (1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d,由題設(shè)得:a24=a2a8,a4=a22,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),a1+3d=(a1+d)2,解出即可得出.
(2)由(1)知:bn={2n,n=2k−12n,n=2k,k∈N*.對n分類討論,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
(3)由(2)知,cn=2n−12n=22n−14n,可得cn+1cn=4nn+1>1,利用其單調(diào)性即可得出.
解答 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d,由題設(shè)得:a24=a2a8,a4=a22,
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),a1+3d=(a1+d)2,
解得a1=d=1.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:an=1+(n-1)=n.
(2)由(1)知:bn={2n,n=2k−12n,n=2k,k∈N*.
①當(dāng)n為偶數(shù),即n=2k時,奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各n2項(xiàng),
∴Tn=(4+8+…+2n)+(2+23+…+2n-1)
=n2(4+2n)2+2(4n2−1)4−1=13•2n+1+12n2+n-23.
②當(dāng)n為奇數(shù),即n=2k-1時,n+1為偶數(shù).
∴Tn=Tn+1-an+1=13×2n+2+(n+12)2+(n+1)-23-2(n+1)=13×2n+2+n22-76.
綜上:Tn={13•2n+1+n22+n−23,n=2k13×2n+2+12n2−76,n=2k−1,k∈N*.
(3)由(2)知,cn=2n−12n=22n−14n,
∵cn+1cn=22(n+1)−14(n+1)22n−14n=4nn+1>1,
∴數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列.
∵c4=8,c5=1285>10,
∴使得cn>10成立的n的取值范圍為n≥5,n∈N*.
點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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P(k2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
A. | 0.1% | B. | 1% | C. | 99% | D. | 99.9% |
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A. | 4 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 1 |
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