Question

已知命題P：函數f（x）=

3x

x-2

+lg（3-x）的定義域為（2，3），命題Q：已知

a

，

b

為非零向量，則“函數f（x）=（

a

x+

b

）²為偶函數”是“

a

⊥

b

”的充分但不必要條件．則下列命題為真命題的有（　�。�

• A、P∧Q
• B、P∧（￢Q）
• C、（￢P）∧Q
• D、（￢P）∨Q

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：求出函數f（x）=

3x

x-2

+lg（3-x）的定義域，可判斷命題p；根據偶函數的定義和充要條件的定義，可判斷q，進而根據復合命題真假判斷的真值表逐一判斷四個答案即可．

解答： 解：∵函數f（x）=

3x

x-2

+lg（3-x）的定義域為（2，3），
故命題p為真命題；
若函數f（x）=（

a

x+

b

）²為偶函數，則

a

•

b

=0，即

a

⊥

b

，
反之若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，則函數f（x）=（

a

x+

b

）²為偶函數，
故“函數f（x）=（

a

x+

b

）²為偶函數”是“

a

⊥

b

”的充要條件，
故命題q為假命題；
故A中，P∧Q為假命題；B中，P∧（￢Q）（￢P）∨Q為真命題；C中，（￢P）∧Q為假命題；D中，（￢P）∨Q為假命題；
故選：B．

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．