Question

16．已知拋物線y=x²的焦點為F，經(jīng)過y軸正半軸上一點N作直線l與拋物線交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2（O為坐標原點），點F關于直線OA的對稱點為C，則四邊形OCAB面積的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 先設直線AB方程為y=kx+b（b＞0），聯(lián)立y=x²求解利用$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2，求出b，可得直線AB方程為y=kx+2，設d₁、d₂分別為F到OA、O到AB的距離，利用四邊形OCAB的面積S=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$（OA•d₁+AB•d₂），可得S關于k的函數(shù)，利用導數(shù)知識即可求解．

解答 解：不妨設位于第一象限的交點為A（x₁，y₁）、第二象限的交點為B（x₂，y₂），則x₁＞0，x₂＜0．
OA的直線方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=x₁x，F(xiàn)點的坐標為（0，$\frac{1}{4}$）．
設直線AB方程為y=kx+b（b＞0），聯(lián)立y=x²求解，有x²-kx-b=0
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∴y₁y₂=b²，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-b+b²=2
∵b＞0，∴b=2
∴△=k²+8，x₁=$\frac{1}{2}$（k+$\sqrt{{k}^{2}+8}$）①；線段AB=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{k}^{2}+8）}$②．
設d₁、d₂分別為F到OA、O到AB的距離．
∵C是F關于OA的對稱點，∴C到OA的距離=d₁．
∴四邊形OCAB的面積S=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$（OA•d₁+AB•d₂）．
根據(jù)點到直線距離公式，d₁=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}}$③，d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$④．
又線段OA=${x}_{1}\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}$⑤，
∴將①～⑤代入S，有S=$\frac{1}{16}$（k+17$\sqrt{{k}^{2}+8}$）．
由S對k求導，令導函數(shù)=0，可得1+$\frac{17k}{\sqrt{{k}^{2}+8}}$=0，解得k=-$\frac{1}{6}$時，S最小，其值為3．
故選：A．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查面積的計算，考查導數(shù)知識，正確求出面積，利用導數(shù)求解是解題的關鍵．