Question

【題目】已知橢圓是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心O，點(diǎn)C在第一象限，且，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)P、Q為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于A、B，若的平分線總是垂直于x軸，問是否存在實(shí)數(shù)，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，的最大值為

【解析】

(1)將化簡可得出是等腰直角三角形，然后可得出點(diǎn)坐標(biāo)，帶入橢圓方程即可求出

(2)首先由的平分線總是垂直于x軸可得出，然后設(shè)出的直線方程，聯(lián)立消元可求出和，然后可算出，進(jìn)而可表示出并求出的最大值，也就可以得出的最大值.

（1）∵，∴，

∵，即，

∴是等腰直角三角形，

∵，，

而點(diǎn)C在橢圓上，∴，∴，

∴所求橢圓方程為.

（2）對于橢圓上兩點(diǎn)P，Q，

∵的平分線總是垂直于x軸，

∴與所在直線關(guān)于對稱，

，則，

∵，∴的直線方程為，①

的直線方程為，②

將①代入，得，③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個(gè)根，

∴，

以替換k，得到.

∴，

∵，弦過橢圓的中心O，

∴，∴，

∴，∴，

∴存實(shí)數(shù)，使得，

，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，

，

又，，

∴的最大值為.