已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,-1)∪(1,+∞),對(duì)定義域內(nèi)的任意x,滿足f(x)+f(-x)=0,當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=
1+ln(-x-1)
x+a
(a為常),且x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)如果當(dāng)x≥2時(shí),不等式f(x)≥
m
x
恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(Ⅲ)求證:n-2(
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
)<ln(n+1)
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)先求出當(dāng)x>1時(shí),f(x)=-f(-x)=
1+ln(x-1)
x-a
,可得當(dāng)x>1時(shí),f′(x)=
x-a
x-1
-1-ln(x-1)
(x-a)2
,利用x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)x≥2時(shí),不等式f(x)≥
m
x
恒成立,等價(jià)于m≤x•
1+ln(x-1)
x-1
,令g(x)=x•
1+ln(x-1)
x-1
=1+
1+xln(x-1)
x-1
,求出最小值,即可求實(shí)數(shù)m的最大值;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)x≥2時(shí),f(x)≥
2
x
,即
1+ln(x-1)
x-1
2
x
,可得ln(x-1)≥1-
2
x
>1-
2
x-1
,令x-1=
k+1
k
,則1-
2
x-1
=1-
2k
k+1
,進(jìn)而取值累加,即可證明結(jié)論.
解答: (Ⅰ)解:∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,-1)∪(1,+∞),對(duì)定義域內(nèi)的任意x,滿足f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)為奇函數(shù),
當(dāng)x>1時(shí),-x<-1,∴f(x)=-f(-x)=
1+ln(x-1)
x-a

∴當(dāng)x>1時(shí),f′(x)=
x-a
x-1
-1-ln(x-1)
(x-a)2

∵x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),
∴f′(2)=
1-a
(2-a)2
=0,
∴a=1;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,當(dāng)x>1時(shí),f(x)=
1+ln(x-1)
x-1

當(dāng)x≥2時(shí),不等式f(x)≥
m
x
恒成立,等價(jià)于m≤x•
1+ln(x-1)
x-1

令g(x)=x•
1+ln(x-1)
x-1
=1+
1+xln(x-1)
x-1
,
則g′(x)=
(x-1)-ln(x-1)
(x-1)2

令h(x)=(x-1)-ln(x-1)(x≥2),則h′(x)=
x-2
x-1
,
當(dāng)x>2時(shí),h′(x)=
x-2
x-1
>0,函數(shù)h(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(x)≥h(2)=1>0,
∴當(dāng)x≥2時(shí),g′(x)=
(x-1)-ln(x-1)
(x-1)2
>0,
∴g(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g(2)=2,
∴m≤2,
∴實(shí)數(shù)m的最大值為2;
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知,當(dāng)x≥2時(shí),f(x)≥
2
x
,即
1+ln(x-1)
x-1
2
x
,
則ln(x-1)≥1-
2
x
>1-
2
x-1

令x-1=
k+1
k
,則1-
2
x-1
=1-
2k
k+1
,
∴1-
2×1
1+1
<ln
2
1
;1-
2×2
2+1
<ln
3
2
,…,1-
2n
n+1
<ln
n+1
n
,
累加可得n-2(
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
)<ln(n+1)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查恒成立問題,考查不等式的證明,正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P是雙曲線左支上一點(diǎn),滿足|
PF1
|=|
F1F2
|,直線PF2與圓x2+y2=a2相切,則雙曲線的離心率e為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí),均從一葉跳到另一葉),而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍,如圖.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上,則跳三次之后停在A葉上的概率是( 。
A、
1
3
B、
2
9
C、
4
9
D、
8
27

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐M-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)棱AM的長為3,且AM和AB、AD的夾角都是60°,N是CM的中點(diǎn),設(shè)
a
=
AB
,
b
=
AD
c
=A
M
,試以
a
,
b
,
c
為基向量表示出向量
BN
,并求BN的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+(a-2)x+a-1,且f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,2]上單調(diào)遞減.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小值;
(3)不等式f(x)≥-2的解.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=x-2;
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1≥0,x2>0),若直線PQ∥x軸,求P,Q兩點(diǎn)間的最短距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足等式an+2Sn=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)能否在數(shù)列{an}中找到這樣的三項(xiàng),它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列?說明理由;
(3)令bn=log 
1
3
an+
1
2
,記函數(shù)f(x)=bnx2+2bn+1x+bn+2(n∈N*)的圖象在x軸上截得的線段長為cn,設(shè)Tn=
1
4
(c1c2+c2c3+…+cn-1cn)(n≥2),求Tn,并證明:T2T3T4…Tn
2n-1
n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,且-a2,Sn,2an+1成等差.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記bn=
an
(an-1)(an+1-1)
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在R上定義運(yùn)算⊙:a⊙b=ab+2a+b,則不等式x⊙(x-2)<0的解集是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案