Question

求證：當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，sinx＜x＜tanx．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的求值

分析：解法一：如圖所示，在單位圓中，|PB|=sinx，

PA

=x，|AQ|=tanx，由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于△AOQ的面積，可得|PB|＜

PA

＜|AQ|，化簡(jiǎn)可得 sinx＜x＜tanx．
解法二：當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得故f（x）和g（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，故f（x）＞0，g（x）＞0，從而得到sinx＜x＜tanx．

解答： 解：解法一：證明：設(shè)角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，PB⊥x軸，
B為垂足，
單位圓和x軸的正半軸交于點(diǎn)A，AQ⊥x軸，且點(diǎn)Q∈OP，
如圖所示，則|PB|=sinx，

PA

=x，|AQ|=tanx，
由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于
△AOQ的面積，
故有

1

2

|OA|•|PB|＜

1

2

PA

•|OA|＜

1

2

|OA|•|AQ|，即|PB|＜

PA

＜|AQ|，即 sinx＜x＜tanx．
解法二：證明：當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=

1

cos2x

＞0，
故f（x）和g（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=1＞0，
∴x＞tanx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)線的定義，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．