Question

已知直線l過點P（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,直線的截距式方程

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：設(shè)出直線的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，推出a，b的值，即可求出直線方程，得到面積的最值．

解答： 解：由題意設(shè)直線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），∴

3

a

+

2

b

=1．
由基本不等式知

3

a

+

2

b

≥2

3 a • 2 b

，
即ab≥24（當(dāng)且僅當(dāng)

3

a

=

2

b

，即a=6，b=4時等號成立）．
又S=

1

2

a•b≥

1

2

×24=12，
此時直線方程為

x

6

+

y

4

=1，即2x+3y-12=0．
∴△ABO面積的最小值為12，此時直線方程為2x+3y-12=0

點評：本題考查直線方程的求法，截距式方程的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，基本知識的考查．