Question

在單位正方形ABCD（邊長為1個單位長度的正方形，如圖所示）所在的平面上有點P滿足條件|PA|²+|PB|²=|PC|²，試求點P到點D的距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析：以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，找出A，B，C及D的坐標，設出P的坐標，利用兩點間的距離公式分別表示出|PA|，|PB|及|PC|，根據|PA|²+|PB|²=|PC|²，列出關系式，化簡后可得到動點P的軌跡方程，其軌跡方程為一個圓，找出圓心坐標和半徑，根據平面幾何知識即可得到|PD|的最大值及最小值．

解答：解：以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系，
則有：A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），…（3分）
設P（x，y），由條件可得：x²+y²+（x-1）²+y²=（x-1）²+（y-1）²，
∴x²+（y+1）²=2，…（7分）
這是一個以（0，-1）為圓心，以

2

為半徑的圓．…（8分）
由平面幾何知識可知|PD|_max=2+

2

，|PD|_min=2-

2

．…（12分）

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：兩點間的距離公式，以及平面直角坐標系與點的坐標，其中根據題意建立合適的平面直角坐標系，找出動點P的軌跡方程是解本題的關鍵．