Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n+1}^{2}+1）}{{a}_{a}^{2}+1}$（n≥1，n∈N^*），令b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}+\frac{1}{a_n}}}$．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是常數(shù)列；
（2）求證：當(dāng)n≥2時，2＜a_n²-a²_n-1≤3；
（3）求a₂₀₁₅的整數(shù)部分．

Answer 1

分析 （1）易知，對一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n+1}^{2}+1）}{{a}_{a}^{2}+1}$（n≥1，n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}$．
依次利用上述關(guān)系式，可得：b_n=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}}$=1，即可證明．
（2）由（1）得a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$．又a₁=1，可知數(shù)列{a_n}遞增，則對一切n≥1，有a_n≥1成立，從而0＜$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$≤1．當(dāng)n≥2時，${a}_{n}^{2}$=$（{a}_{n-1}+\frac{1}{{a}_{n-1}}）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2，即可證明．
（3）當(dāng)n≥2時，${a}_{n}^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+${a}_{1}^{2}$+2（n-1），${a}_{1}^{2}$=1，${a}_{2}^{2}$=4，通過放縮可得：63＜a₂₀₁₅＜64，可得a₂₀₁₅的整數(shù)部分．

解答 （1）證明：易知，對一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n+1}^{2}+1）}{{a}_{a}^{2}+1}$（n≥1，n∈N^*），
可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}$．
依次利用上述關(guān)系式，可得：b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}+\frac{1}{a_n}}}$=…=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}}$=1，
從而數(shù)列數(shù)列{b_n}是常數(shù)列．
（2）證明：由（1）得a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$．
又a₁=1，∴可知數(shù)列{a_n}遞增，則對一切n≥1，有a_n≥1成立，從而0＜$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$≤1．
當(dāng)n≥2時，${a}_{n}^{2}$=$（{a}_{n-1}+\frac{1}{{a}_{n-1}}）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2，∴${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2，∴2＜a_n²-a²_n-1≤3．
（3）當(dāng)n≥2時，${a}_{n}^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+${a}_{1}^{2}$+2（n-1），${a}_{1}^{2}$=1，${a}_{2}^{2}$=4，
當(dāng)n≥3時，${a}_{n}^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+2+2（n-1）=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+2n，
∴${a}_{2015}^{2}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+4030＞4030＞63²，
又${a}_{2015}^{2}$=$\frac{1}{{a}_{2014}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+2×（2015-1）+1=4029+$\frac{1}{{a}_{2014}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=4030+$（\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+…+\frac{1}{2×2014}）$=4030+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{39}）$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{40}+\frac{1}{41}+…+\frac{1}{199}）$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{200}+\frac{1}{201}+…+\frac{1}{2014}）$＜4030+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}×38$+$\frac{1}{40}×160$+$\frac{1}{200}×1815）$＜4096=64²，
∴63＜a₂₀₁₅＜64，因此a₂₀₁₅的整數(shù)部分．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．