如圖，橢圓方程為，為橢圓上的動點，為橢圓的兩焦點，當點不在軸上時，過作的外角平分線的垂線,垂足為，當點在軸上時，定義與重合。

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點：點是軌跡內(nèi)部的整點（平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），且的面積？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由。

   

   

 


解：(Ⅰ)當點P不在軸上時，延長與的延長線相交于點N，連結(jié)OM，

,,是線段的中點，

………………………………………………………………………2分

。

點P在橢圓上，。…………………………4分

當點P在軸上時，M與P重合，

M點的軌跡方程為。……………………………………………6分

 


（Ⅱ）連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個點，滿足,

分別過A,B作直線OE的兩條平行線，同底等高的兩個三角形的面積相等，

∴符合條件的點均在直線、上�！�7分

∵   ∴直線、的方程分別為：、。

………………………………………………………………………………………8分

設點 （ ）∵在軌跡T內(nèi)，∴�！�9分

分別解與

得 與………………………………………………11分

∵∴為偶數(shù)，在上對應的

在上，對應的…………………………13分

∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：

。

………………………………………………………………………………………15分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知如圖，橢圓方程為
x2
16
+
y2
b2
=1（4＞b＞0）．P為橢圓上的動點，
F1、F2為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F1作∠F1PF2的外角
平分線的垂線F1M，垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．
（1）求M點的軌跡T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點Q：Q是軌跡T內(nèi)部的整點（平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），且△OEQ的面積S△OEQ=2？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）

已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F1、F2為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F1作∠F1PF2的外角

平分線的垂線F1M,垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．

（1）求M點的軌跡T的方程；

（2）已知、，試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內(nèi)部的整點（平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），且△OEQ的面積？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F1、F2為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F1作∠F1PF2的外角

平分線的垂線F1M,垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．

（1）求M點的軌跡T的方程；（2）已知、，

試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內(nèi)部的整點

（平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），且△OEQ的面積？

若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年甘肅西北師大附中高三11月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

）如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點

（Ⅰ）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓方程；

（Ⅱ）已知:直線相交于，兩點（不是橢圓的左右頂點），并滿足 試研究：直線是否過定點？ 若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由

 

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