Question

17．某電視生產(chǎn)廠家有A，B兩種型號的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動，若廠家投放A，B型號電視機(jī)的價值分別為p，q萬元，農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為$\frac{1}{10}$p，$\frac{2}{5}$ln q萬元，已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機(jī)投放市場，且A、B兩種型號的電視機(jī)投放金額都不低于1萬元．
（1）設(shè)B型號電視機(jī)的價值為x萬元（1≤x≤9），農(nóng)民得到的補(bǔ)貼為f（x）萬元，求補(bǔ)貼函數(shù)f（x）的解析式；
（2）問應(yīng)分別投放A，B型號的電視機(jī)價值多少萬元，才能使得在這次活動中農(nóng)民得到的補(bǔ)貼最多，并求出其最大值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4≈1.4）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)補(bǔ)貼關(guān)系即可函數(shù)f（x）的表達(dá)式，
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最大值，從而得到分配方案，求出最大值．

解答 解：設(shè)B型號電視機(jī)的價值為x萬元（1≤x＜9），農(nóng)民得到的補(bǔ)貼為f（x）萬元，
則A型號電視機(jī)的價值為（10-x）萬元，
由題意得，
f（x）=$\frac{1}{10}$（10-x）+$\frac{2}{5}$lnx=$\frac{2}{5}$lnx-$\frac{1}{10}$x+1，（1≤x＜9）．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{10}$（10-x）+$\frac{2}{5}$lnx=$\frac{2}{5}$lnx-$\frac{1}{10}$x+1，（1≤x＜9）．
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2}{5x}$-$\frac{1}{10}$，
由y′=0得，x=4，
當(dāng)x∈[1，4）時，f′（x）＞0，此時函數(shù)遞增，
當(dāng)x∈（4，9]時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=4時，y取最大值，
y_max=$\frac{2}{5}$ln4-0.4+1≈1.2．
即廠家分別投放A、B兩型號電視機(jī)6萬元和4萬元時，農(nóng)民得到補(bǔ)貼最多，最多補(bǔ)貼約1.2萬元．

點評 本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．其中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．