Question

已知{a_n}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，S_n為其前n項的和，且a₁=1，S_n=．
（I）分別求S₂²，S₃²的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（III）求證：．

Answer 1

解：（I）令n=2，得1+a₁=（a₂+）?a₂=-1（舍去負的），
∴s₂=?=2．
同理，令n=3可得=3．
（II）∵S_n=．
∴s_n-1=s_n-a_n=（a_n-），（n≥2）．
∴-=（a_n+）²-（a_n-）²=1．
∴{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
∴=n，
∴a_n=s_n-s_n-1=-，（n≥2）．
∴a_n=．
（Ⅲ）令b_n=2（1-）=2（1-），
c_n==．
∴b_n-b_n-1=2（1-）-2（1-）
==
=
＞==c_n．
∴b_n-b_n-1＞c_n；
∴b_n-1-b_n-2＞c_n-1，…b₂-b₁＞c₂．
相加得：b_n-b₁＞c_n+c_n-1+…+c₂；
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+b₁；
又∵b₁=2（1-）=2-＞=c₁．
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+c₁；
即成立．
分析：（I）先把n=2代入S_n=；求出a₂進而求出求S₂²的值；同理求出S₃²的值即可．
（II）先根據(jù)S_n=得到s_n-1=s_n-a_n=（a_n-），進而得到{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；得到{}的通項，進而求出數(shù)列{a_n}的通項；
（III）先令b_n=2（1-）=2（1-），c_n==．再利用放縮法得到b_n-b_n-1＞c_n；最后求和整理即可得到結(jié)論．
點評：本題主要考察數(shù)列與不等式的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)S_n=得到s_n-1=s_n-a_n=（a_n-），進而得到{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；得到{}的通項．，題后注意體會本題證明不等式的技巧及證明時構(gòu)造的技巧