Question

5．已知直線x=t與函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=a+ax-x²的圖象分別交于M、N兩點，O為坐標原點，當直線OM、ON的斜率之差k_OM-k_ON在區(qū)間t∈[1，+∞）上單調遞增時，實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-2，+∞）
• B． （-∞，-2]
• C． （-2，+∞）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 求出y=k_OM-k_ON=$\frac{lnt}{t}$-$\frac{a}{t}$-a+t，求導數(shù)，得出y′=$\frac{1-lnt+a}{{t}^{2}}$+1≥0在區(qū)間t∈[1，+∞）上恒成立，可得a≥-t²+lnt-1在區(qū)間t∈[1，+∞）上恒成立，再求出右邊的最大值，即可得出結論．

解答 解：由題意M（t，lnt），N（t，a+at-t²），
∴y=k_OM-k_ON=$\frac{lnt}{t}$-$\frac{a}{t}$-a+t，
∴y′=$\frac{1-lnt+a}{{t}^{2}}$+1，
∵k_OM-k_ON在區(qū)間t∈[1，+∞）上單調遞增，
∴y′=$\frac{1-lnt+a}{{t}^{2}}$+1≥0在區(qū)間t∈[1，+∞）上恒成立，
∴a≥-t²+lnt-1在區(qū)間t∈[1，+∞）上恒成立，
令f（t）=-t²+lnt-1，則f′（t）=-2t+$\frac{1}{t}$＜0在區(qū)間t∈[1，+∞）上恒成立，
∴f（t）=-t²+lnt-1單調遞減，
∴f（t）≥f（1）=-2，
∴a≥-2．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的 綜合運用，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．