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20.已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若|AB|:|BF2|:|AF2|=4:3:5,則雙曲線的離心率為( �。�
A.13B.15C.2D.5

分析 設(shè)|AF1|=t,|AB|=4x,根據(jù)雙曲線的定義算出t=2x,x=23a,Rt△ABF2中算出cos∠BAF2=|AB||AF2|=45,可得cos∠F2AF1=-45,在△F2AF1中,利用余弦定理與雙曲線的離心率公式加以計(jì)算,可得答案.

解答 解:設(shè)|AF1|=t,|AB|=4x,則|BF2|=3x,|AF2|=5x,
根據(jù)雙曲線的定義,得|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a,
即5x-t=(4x+t)-3x=2a,解得t=2x,x=23a,
即|AF1|=4a3,|AF2|=10a3,
∵|AB|:|BF2|:|AF2|=4:3:5,得△ABF2是以B為直角的Rt△,
∴cos∠BAF2=|AB||AF2|=45
可得cos∠F2AF1=-45,
△F2AF1中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1
=169a2+1009a2-2×43103a×(-45)=20a2
可得|F1F2|=25a,即c=5a,
因此,該雙曲線的離心率e=ca=5
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識(shí),屬于中檔題.

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