Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，解不等式f（x）≤0；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，求整數(shù)t的所有值，使方程f（x）=x+2在[t，t+1]上有解；
（3）若f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將不等式等價(jià)變形，利用一元二次不等式的求解方法，即可得到結(jié)論；
（2）先確定x=0不是方程的解，再構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，可求整數(shù)t的所有值；
（3）求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等關(guān)系，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閑^x＞0，所以不等式f（x）≤0即為ax²+x≤0，
又因?yàn)閍＞0，所以不等式可化為x(x+

1

a

)≤0，所以不等式f（x）≤0的解集為[-

1

a

，0]．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等價(jià)于e^x-

2

x

-1=0，
令h（x）=e^x-

2

x

-1，因?yàn)閔′（x）=ex+

2

x2

＞0對(duì)于x≠0恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，所以整數(shù)t的所有值為{-3，1}．
（3）f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，故a=0符合要求；
②當(dāng)a≠0時(shí)，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因?yàn)椤?（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
不妨設(shè)x₁＞x₂，因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因?yàn)間（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）內(nèi)有極值點(diǎn)，故f（x）在[-1，1]上不單調(diào)．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，
因?yàn)間（x）的圖象開(kāi)口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調(diào)，
因?yàn)間（0）=1＞0，所以必須滿足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a≤0．
綜上可知，a的取值范圍是[-

2

3

，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．