Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：PE⊥DE；
（2）設(shè)PA=1，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)E，使得二面角P-ED-A的平面角大小為．試確定點(diǎn)E的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=a，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明•=0，即可證PE⊥DE；
（2）設(shè)BE=x，求得向量為平面AED的一個(gè)法向量，平面PDE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：證明：以為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．…（1分）
（1）不妨設(shè)AP=a，則P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
從而，…（5分）
于是•=（1，1，-a）•（1，-1，0）=0，
所以，所以PE⊥DE…（6分）
（2）解：設(shè)BE=x，則P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
則…（8分）
向量為平面AED的一個(gè)法向量．設(shè)平面PDE的法向量為，
則應(yīng)有即解之得c=2b，令b=1，則c=2，a=2-x，
從而，…（10分）
依題意=，即，解之得（舍去），
所以點(diǎn)E在線段BC上距B點(diǎn)的處．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，建系設(shè)點(diǎn)是關(guān)鍵．