已知四棱錐P—ABCD及其三視圖如下圖所示,E是側(cè)棱PC上的動點。
(1)求四棱錐P—ABCD的體積;
(2)不論點E在何位置,是否都有BDAE?試證明你的結(jié)論;
(3)若點E為PC的中點,求二面角D—AE—B的大小。
(1)2 /3 (2)略(3)120°
【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直,以及二面角的求解的綜合運用。
解:(I)由三視圖知PC⊥面ABCD,ABCD為正方形,且PC=2,AB=BC=1(2分)
∴VP-ABCD=1 /3 •SABCD×PC=1 /3 •12•2=2 /3 (1分)
(II)∵PC⊥面ABCD,BD⊂面ABCD∴PC⊥BD …(1分)而BD⊥AC,AC∩AE=A,
∴BD⊥面ACE,…(1分)而AE⊂面ACE∴BD⊥AE (1分)
(III)法一:連接AC,交BD于O.由對稱性,二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍,設(shè)θ為二面角O-AE-B的平面角.注意到B在面ACE上的射影為O
S△AOE=1/ 2 S△ACE=1 /2 ×1/ 2 × = / 4 .
S△ABE=1 /2 AB•BE= = / 2 ,(2分)∴cosθ=S△AOE /S△ABE =1 /2
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°(2分)
法二:以C為坐標(biāo)原點,CD所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系
則D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),
從而 DE =(-1,0,1), DA =(0,1,0),
BA =(1,0,0), BE =(0,-1,1)(2分)
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為
n1 =(x1,y1,z1), n2 =(x2,y2,z2)則-x1+z1=0,y1=0
x2=0,-y2+z2=0令z1=1,z2=-1,則 n1 =( (1,0,1), n2 =(0,-1,-1)(2分)
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ,則|cosθ|=| n1 • n2 | /| n1 | ×| n2| = 1 /2 .
二面角D-AE-B為鈍二面角.∴二面角D-AE-B的大小為2π/ 3 .
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