【題目】已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax2﹣2bx﹣a+b,x∈[0,1].
(1)當a=b=2時,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)證明:函數(shù)f(x)的最大值|2a﹣b|+a;
(3)證明:f(x)+|2a﹣b|+a≥0.
【答案】
(1)解:當a=b=2時,f(x)=8x2﹣4x,x∈[0,1].
對稱軸為x= ,f(0)=0,f(1)=4,
可得f(x)的最大值為4;
(2)證明:f(x)的對稱軸為x= ,
當 >1時,區(qū)間[0,1]為減區(qū)間,
可得f(x)的最大值為f(0)=b﹣a,
由b>4a>2a,可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a,
則f(0)=|2a﹣b|+a;
當 <0時,區(qū)間[0,1]為增區(qū)間,
可得最大值為f(1)=3a﹣b,
由b<0,可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f(1);
當0≤ ≤1時,區(qū)間[0, ]為減區(qū)間,[ ,1]為增區(qū)間,
若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得最大值為f(1)=3a﹣b=|2a﹣b|+a;
若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得最大值為f(0)=b﹣a=|2a﹣b|+a.
綜上可得函數(shù)f(x)的最大值|2a﹣b|+a;
(3)證明:要證f(x)+|2a﹣b|+a≥0恒成立,
只需證f(x)min+|2a﹣b|+a≥0,
設f(x)的最小值為m,最大值為M,由(Ⅱ)得M=|2a﹣b|+a,
由f(x)的對稱軸為x= ,
當 >1時,區(qū)間[0,1]為減區(qū)間,可得m=f(1)=3a﹣b,
則M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a>0;
當 <0時,區(qū)間[0,1]為增區(qū)間,可得m=f(0)=b﹣a,
M=f(1)=3a﹣b,則M+m=2a>0;
當0≤ ≤1時,區(qū)間[0, ]為減區(qū)間,[ ,1]為增區(qū)間,
可得m=f( )= ,
若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得M=f(1)=3a﹣b,
M+m= ≥ =a>0;
若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得M=f(0)=b﹣a,
M+m= = ,
由于2a<b≤4a,可得M+m∈(a,2a],即為M+m>0.
綜上可得M+m>0恒成立,
即有f(x)+|2a﹣b|+a≥0
【解析】(1)求出當a=b=2時,f(x)的解析式,求出對稱軸,求得端點的函數(shù)值,可得f(x)的最大值;(2)求出對稱軸,討論區(qū)間和對稱軸的關系,結合單調性,可得最大值;(3)要證f(x)+|2a﹣b|+a≥0恒成立,只需證f(x)min+|2a﹣b|+a≥0,設f(x)的最小值為m,最大值為M,由(Ⅱ)得M=|2a﹣b|+a,求出對稱軸,討論對稱軸和區(qū)間[0,1]的關系,可得最值,即可證明M+m>0.
【考點精析】掌握函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)的性質是解答本題的根本,需要知道利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(。┲担划時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
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【題目】【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】
已知直線l:ρsin(θ+)=m,曲線C:
(1)當m=3時,判斷直線l與曲線C的位置關系;
(2)若曲線C上存在到直線l的距離等于的點,求實數(shù)m的范圍.
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【題目】如圖,正方體ABCD﹣A′B′C′D′中,E是棱BC的中點,G是棱DD′的中點,則異面直線GB與B′E所成的角為( )
A.120°
B.90°
C.60°
D.30°
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【題目】已知函數(shù)f(x)=a( )x+bx2+cx(α∈R,b≠0,c∈R),若{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}≠,則實數(shù)c的取值范圍為( )
A.(0,4)
B.[0,4]
C.(0,4]
D.[0,4)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期為π,且它的圖象過點( , ).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調增區(qū)間.
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【題目】為了得到函數(shù)y=2sin( + ),x∈R的圖象,只需要把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點( )
A.向左平移 個單位,再把所得各點的橫坐標縮短為原來的 倍(縱坐標不變)
B.向右平移 個單位,再把所得各點的橫坐標縮短為原來的 倍(縱坐標不變)
C.向左平移 個單位,再把所得各點的橫坐標縮短為原來的3倍(縱坐標不變)
D.向右平移 個單位,再把所得各點的橫坐標縮短為原來的3倍(縱坐標不變)
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【題目】為了解某高級中學學生的體重狀況,打算抽取一個容量為n的樣本,已知該校高一、高二、高三學生的數(shù)量之比依次為4:3:2,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出的樣本中高三學生有10人,那么樣本容量n為( )
A.50
B.45
C.40
D.20
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,拋物線的方程為.
(1)以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,求的極坐標方程;
(2)直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),與交于兩點, ,求的斜率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a2=5,a5+a7=26,數(shù)列{an}的前n項和為Sn .
(1)求an及Sn;
(2)設{bn﹣an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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