Question

已知定點(diǎn)A（-2，0），動點(diǎn)B是圓F：（x-2）²+y²=64（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P；
（1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）直線交于M，N兩點(diǎn)，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點(diǎn)C，使共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓、（4分）
設(shè)所求橢圓的方程為，
∴2a=8，a=4，a²-b²=c²=2²=4∴b²=12
∴點(diǎn)P的軌跡方程為．（6分）
（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)C（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），．∴．
由．（8分）
∴．∴．（10分）
又．∴．又∵x₀＜0，y₀＞0∴
所以存在滿足題意的點(diǎn)C（）（14分）
分析：（1）利用橢圓的定義判斷點(diǎn)P的軌跡 是以A、F 為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．
（2）先假設(shè)存在一點(diǎn)C并設(shè)出坐標(biāo)，以及設(shè)出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線得出，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得出x1+x2，y1+y2，進(jìn)而得出，求出m的值，即可求出C的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義以及直線與圓錐曲線問題，（1）問的關(guān)鍵是靈活掌握橢圓的定義．屬于難題．